Il paradosso di Alberto di Sassonia
Nacque a Helmstedt, in Germania, nel 1316. Destinato a diventare uno dei più autorevoli logici del Medioevo, Alberto di Sassonia studiò a Praga e a Parigi, divenendo prima Rettore della Sorbona e poi Rettore Fondatore dell’Università di Vienna, nel 1365. Oltre a produrre un vasto corpo di opere logiche e filosofiche, svolse un ruolo importante anche nelle prime interazioni politiche tra Stato e Chiesa, compiendo una serie di missioni diplomatiche presso Papa Urbano V, per conto del Duca d’Austria. In seguito a ciò, soltanto un anno dopo la sua nomina a Vienna, fu ordinato Vescovo di Halberstadt, carica che mantenne fino alla morte, nel 1390.
Ai dotti delle epoche successive sarebbe stato molto noto, come Alberto di Sassonia, certamente, ma anche come “Albertutius”, cioè Piccolo Alberto, per distinguerlo da Alberto Magno, il famoso teologo del XIII secolo.
Fu un acuto pensatore, che diede un contributo originale alla teologia medievale, escogitando procedimenti per la determinazione delle verità o falsità di enunciati o “sofismi”, utilizzati nell’insegnamento e nella valutazione dei limiti dei vari sistemi filosofici. I sofismi erano proposizioni in qualche modo difficili da comprendere, ambigue o paradossali. L’essenziale era venire a capo di quelli proposti dai filosofi rivali e creare esempi efficaci dei propri. Enunciati come “il nulla è qualcosa”, “solo Dio è infinito” o “questo enunciato è falso”, possono essere considerati dei semplici “sofismi”. Alberto era particolarmente interessato ai paradossi e ai problemi dell’infinito e li discusse nel suo libro Sophismata. Nel corso delle sue disamine, ne propose uno, meravigliosamente incisivo che, in seguito, avrebbe costituito la base della definizione di insieme ed il funzionamento di un’analisi rigorosa degli infiniti attuali. Non era questo, naturalmente, l’intento di Alberto, ma il paradosso mostra quanto attentamente egli riflettesse sulla questione e rivela anche l’influenza dei filosofi inglesi dell’epoca, il cui uso della matematica fu entusiasticamente fatto proprio e propugnato dal sassone.
Egli dimostrò che un unico infinito consente di ottenere qualcosa in cambio di nulla, anzi di ottenere quanto si vuole in cambio di nulla. Concetti, questi, che, per noi moderni, appaiono al di fuori di ogni logica. Eppure, trasportati nella realtà scientifica di quei tempi, assumono fondamentale importanza. Si prenda una trave di legno di lunghezza infinita, con una sezione quadrata di lato pari a 1 unità. Ora la si tagli in cubi di uguali dimensioni. Si avrà un numero infinito di questi cubi che si potranno usare come blocchi di costruzione. Alberto afferma che con essi è possibile riempire tutto lo spazio, se li si compone in modo sistematico. Si attorni il primo blocco con 3alla3^ -1 = 26 blocchi, in modo da formare un cubo più grande con lo spigolo pari a 3 unità. Ora si dispongano intorno a questo cubo altri 5alla3^ – 3alla3^ = 98 blocchi, in modo da creare un nuovo cubo di spigolo uguale a 5 unità. Ripetendo questo procedimento con 7alla3^ – 5alla3^ dei blocchi iniziali, poi 9alla3 – 7alla3^, poi 11alla3^ – 9alla^, e così via all’infinito, si riuscirebbe a costruire un cubo di volume sempre crescente. La trave di lunghezza infinita da cui si è partiti può dunque essere tagliata a pezzi e ricomposta in modo da riempire uno spazio tridimensionale infinito!
Questo “ingegnoso esempio” dimostra come anche nel XIV secolo ci fosse una chiara consapevolezza della singolare proprietà dell’infinito, per cui esso può essere posto in corrispondenza biunivoca con una sua parte. La sua importanza, al di là di una immediata comprensione e condivisione, sta nel fatto che fece giustizia della dogmatica certezza di Aristotele, secondo cui non poteva esistere un insieme infinito di entità, perchè avrebbe contenuto un sottoinsieme più piccolo che sarebbe stato anch’esso infinito. Cosa che appariva assurda. Il paradosso vuole dimostrare come una situazione simile possa verificarsi senza che vi sia implicata nessuna contraddizione logica interna. In realtà l’esempio del sassone era più ingegnoso di quanto occorresse per sostenere la sua tesi, sebbene si possa immaginarlo nell’atto di dare una bella dimostrazione, tagliando a pezzi una lunga trave e ricomponendo i primi gruppi di cubi, in modo che ciascuno potesse farsi un’idea di ciò che sarebbe accaduto se avesse continuato per sempre.
Un paradosso molto più semplice, che mette in luce la medesima proprietà degli infiniti, fu proposto da Galileo. Esso dimostrava quanto allo scienziato pisano fosse familiare l’attrazione medievale per l’infinito e ci fa comprendere più chiaramente il paradosso fondamentale. E’ interessante che Galileo sollevi la questione in uno dei suoi Dialoghi, che erano opere di scienza “divulgativa”, rivolte a persone istruite.
Ma senza gli spunti filosofico-astronomici di Alberto di Sassonia, le idee future e le scoperte, poi presentate in forma scenica, ricorrendo a dialoghi e discussioni, non avrebbero avuto il loro punto di partenza.